KPB

Fungsi
Grafik dan Kurva Ketinggian
Turunan Parsial
Definisi fungsi
Misalkan S adalah himpunan titik-titik di Rn. Fungsi f n variabel
dengan daerah definisi S adalah aturan pengkaitan setiap elemen
(x1, x2, . . . , xn) di S dengan satu dan hanya satu bilangan yang
ditulis f (x1, x2, . . . , xn).
Jika S di R2, maka fungsi f dua variabel dengan daerah definisi S
adalah aturan pengkaitan setiap elemen (x, y) di S dengan satu
dan hanya satu bilangan yang ditulis z = f (x, y).
Contoh: z = f (x, y) = x2 + y2.
Jika z = f (x, y), maka x dan y disebut variabel bebas dan z
disebut variabel tak bebas.
Dr. A. A. G. Ngurah Kalkulus Peubah Banyak


Fungsi
Grafik dan Kurva Ketinggian
Turunan Parsial
Definisi himpunan buka di R2
Misalkan diketahui titik −!x o = (a, b) dan bilangan > 0.
Himpunan titik-titik yang memenuhi
C(−!x o, ) = {(x, y) | q(x − a)2 + (y − b)2 < }
merupakan cakram buka berjari-jari dan berpusat di xo. Cakram
ini merupakan perumuman dari interval (xo − , xo + ).
Misalkan U adalah himpunan di bidang. Himpunan U disebut
himpunan buka jika untuk setiap titik −!x o di U ada > 0
sehingga cakram buka C(−!x o, ) U.
Contoh: Himpunan U = {(x, y) | 0 < x < 1} adalah himpunan
buka di R2. Misalkan −!x o = (a, b) adalah titik sebarang di U.
Ambil = min(a, 1 − a), maka C(−!x o, ) U.
Dr. A. A. G. Ngurah Kalkulus Peubah Banyak
Fungsi
Grafik dan Kurva Ketinggian
Turunan Parsial
Definisi himpunan buka di R3
Contoh: Himpunan U = {(x, y) | 0 < x < 1, y = 0} bukan
himpunan buka.
Misalkan diketahui titik −!x o = (a, b, c) dan bilangan > 0.
Himpunan titik-titik yang memenuhi
B(−!x o, ) = {(x, y, z) | q(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < }
merupakan bola buka berjari-jari dan berpusat di xo.
Misalkan U adalah himpunan di ruang. Himpunan U disebut
himpunan buka jika untuk setiap titik −!x o di U ada > 0
sehingga bola buka B(−!x o, ) U.
Dr. A. A. G. Ngurah Kalkulus Peubah Banyak


Fungsi
Grafik dan Kurva Ketinggian
Turunan Parsial
Definisi turunan parsial
Misalkan f (x, y, z) adalah fungsi tiga variabel yang didefinisikan
pada himpunan buka U di R3. Turunan parsial f terhadap z
didefinisikan sebagai
D3f (x, y, z) =
@f
@z
(x, y, z) = fz (x, y, z) = Limh!0
f (x, y, z + h) − f (x, y, z)
h
asalkan limit ini ada.
Contoh: Misalkan f (x, y, z) = x2y sin(yz). Maka
D3f (x, y, z) = x2y2 cos(yz),
D2f (x, y, z) = x2 sin(yz) + x2yz cos(yz),
dan
D1f (x, y, z) = 2xy sin(yz).
Dr. A. A. G. Ngurah Kalkulus Peubah Banyak
Fungsi
Grafik dan Kurva Ketinggian
Turunan Parsial
Soal
Carilah turunan parsial dari fungsi berikut:
1. f (x, y) = x3 − x2y + xy2 − y3
2. f (x, y) = x2sinx
3. f (x, y) = sin2(xy)
4. f (x, y) = xy
x2+y2
5. f (x, y) = y lnx
6. f (x, y, z) = x3 − x2y + z4
7. f (x, y) = (2y − 3z)ln(x2 + 1)
Dr. A. A. G. Ngurah Kalkulus Peubah Banyak
Fungsi
Grafik dan Kurva Ketinggian
Turunan Parsial
Definisi gradien
Misalkan f (x, y) adalah fungsi dua variabel. Gradien dari f , ditulis
gradf adalah vektor
gradf (x, y) = (
@f
@x
,
@f
@y
).
Jika f (x, y, z) adalah fungsi tiga variabel, maka Gradien dari f
adalah vektor
gradf (x, y, z) = (
@f
@x
,
@f
@y
,
@f
@z
).
Contoh: Misalkan f (x, y, z) = x2y sin(yz). Maka
gradf (1, 1, ) = (0,− ,−1).
Catatan: gradf = rf
Dr. A. A. G. Ngurah Kalkulus Peubah Banyak